Método de Gauss-Seidel
Gauss Seidel es un método que va utilizando los valores más nuevos
en cada cálculo.
Parte de una aproximación inicial y repite el proceso hasta llegar a una solucion.
El método se llama así en honor a los matemáticos alemanes Carl Friedrich Gauss y Philipp Ludwig von Seidel y es similar al método de Jacobi.
A continuacion te dejo un link a un pdf donde se explican los pasos a este método:
https://drive.google.com/file/d/1oZpdym3uAse8CtWlvOIaI3KLiGNGrf4d/view?usp=sharing
Para finalizar un ejemplo en C++ realizado en clase.
%&latex
\documentclass{article}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{color}
\begin{document}
\section{Jacobi y Gauss-Seidel}
Consideremos la $i-$\'esima ecuaci\'on de un SEL:\\
$$a_{i1}X_1+a_{i2}X_2+\dots+a_{i\,i-1}X_{i-1}+a_{ii}X_i+a_{i\,i+1}X_{i+1}+\dots+a_{i\,n}X_{n}=b_i$$
$$X_i=\frac{b_i-\left( a_{i1}X_1+a_{i2}X_2+\dots+a_{i\,i-1}X_{i-1} \right)-\left( a_{i\,i+1}X_{i+1}+\dots+a_{i\,n}X_{n} \right)}{a_{ii}}$$
$$X_i=\frac{b_i-\sum_{k=1}^{i-1}a_{ik}X_k-\sum_{k=i+1}^{n}a_{ik}X_k}{a_{ii}}$$
Jacobi:\\
$$X_i^{new}=\frac{b_i-\sum_{k=1}^{i-1}a_{ik}X_k^{old}-\sum_{k=i+1}^{n}a_{ik}X_k^{old}}{a_{ii}}$$
Gauss-Seidel:\\
$$X_i^{new}=\frac{b_i-\sum_{k=1}^{i-1}a_{ik}X_k^{new}-\sum_{k=i+1}^{n}a_{ik}X_k^{old}}{a_{ii}}$$
\section{Descomposici\'on LU }
Considere el siguiente SEL $$AX=b$$
y suponga que ha logrado obtener $L$ triangular inferior y $U$ triangular
superior tales que:\\
$$LU=A$$ sustituimos en el SEL:\\
$$LUX=b$$ asociando
$$L(UX)=b$$
hacemos: $Y=UX$.\\% donde $U$ es triangular superior.\\
Asi tenemos el SEL:\\ $$LY=b$$
es triangular inferior y se resuelve por sustituci\'on hacia adelante, obteniendose
la soluci\'on en $Y$.\\
La cual se sustituye en $$UX=Y$$ y se resuelve por sustituci\'on hacia atras.\\
Obteniendose la soluci\'on en $X$.
%asi $UX=Y$%
% es un SEL que se resuelve por sustituci\'on hacia atr\'as, obteniendose
%la soluci\'on en $Y$.\\
%sustituimos $Y$ en $$ y nos queda:\\
%$$$LY$$
\subsection{Obtencion de $L$ y $U$}
$$LU=A$$ $n=4$
$$\begin{bmatrix}1 & 0 & 0 & 0 \\
l_{21} & 1 & 0 & 0 \\
l_{31} & l_{32} & 1 & 0 \\
l_{41} & l_{42} & l_{43} & 1 \\
\end{bmatrix}\begin{bmatrix}u_{11} & u_{12} & u_{13} & u_{14} \\
0 & u_{22} & u_{23} & u_{24} \\
0 & 0 & u_{33} & u_{34} \\
0 & 0 & 0 & u_{44} \\
\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}a_{11} & a_{12} & a_{13} & a_{14} \\
a_{21} & a_{22} & a_{23} & a_{24} \\
a_{31} & a_{32} & a_{33} & a_{34} \\
a_{41} & a_{42} & a_{43} & a_{44} \\
\end{bmatrix}$$
$\begin{bmatrix}
u_{11} & u_{12} & u_{13} & u_{14} \\
\textcolor{red}{l_{21}}u_{11} & l_{21}u_{12}+\textcolor{red}{u_{22}} & l_{21}u_{13}+\textcolor{red}{u_{23}} & l_{21}u_{14}+\textcolor{red}{u_{24}} \\
\textcolor{red}{l_{31}}u_{11} & l_{31}u_{12}+\textcolor{red}{l_{32}}u_{22} & l_{31}u_{13}+l_{32}u_{23}+\textcolor{red}{u_{33}} & l_{31}u_{14}+l_{32}u_{24}+\textcolor{red}{u_{34}} \\
\textcolor{red}{l_{41}}u_{11} & l_{41}u_{12}+\textcolor{red}{l_{42}}u_{22} & l_{41}u_{13}+l_{42}u_{23}+\textcolor{red}{l_{43}}u_{33} & l_{41}u_{14}+l_{42}u_{24}+l_{43}u_{34}+\textcolor{red}{u_{44}} \\
\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}a_{11} & a_{12} & a_{13} & a_{14} \\
a_{21} & a_{22} & a_{23} & a_{24} \\
a_{31} & a_{32} & a_{33} & a_{34} \\
a_{41} & a_{42} & a_{43} & a_{44} \\
\end{bmatrix}$
\\
Hacer para $i=1,n\{$\\
\textcolor[rgb]{1,1,1}{xxxx}Hacer para $j=1,n\{$\\
\textcolor[rgb]{1,1,1}{xxxxxxx}$si\,(i\leq j)\, u_{ij}=a_{ij}-\sum_{k=1}^{i-1}l_{ik}u_{kj}$\\
\textcolor[rgb]{1,1,1}{xxxxxxx}$sino\,\,l_{ij}=\frac{a_{ij}-\sum_{k=1}^{j-1}l_{ik}u_{kj}}{u_{jj}}$\\
\textcolor[rgb]{1,1,1}{xxxx}\}\\
\}
\end{document}
$$\begin{bmatrix}
u_{11} & u_{12} & u_{13} & u_{14} \\
l_{21}u_{11} & l_{21}u_{12}+u_{22} & l_{21}u_{13}+u_{23} & l_{21}u_{14}+u_{24} \\
l_{31}u_{11} & l_{31}u_{12}+l_{32}u_{22} & l_{31}u_{13}+l_{32}u_{23}+u_{33} & l_{31}u_{14}+l_{32}u_{24}+u_{34} \\
l_{41}u_{11} & l_{41}u_{12}+l_{42}u_{22} & l_{41}u_{13}+l_{42}u_{23}+l_{43}u_{33} & l_{41}u_{14}+l_{42}u_{24}+l_{43}u_{34}+u_{44} \\
\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}a_{11} & a_{12} & a_{13} & a_{14} \\
a_{21} & a_{22} & a_{23} & a_{24} \\
a_{31} & a_{32} & a_{33} & a_{34} \\
a_{41} & a_{42} & a_{43} & a_{44} \\
\end{bmatrix}$$\\
xsxs
observe que:\\
$$u_{ij}$$
xzxzxz
\end{document}
Yesenia Andrade.
Parte de una aproximación inicial y repite el proceso hasta llegar a una solucion.
El método se llama así en honor a los matemáticos alemanes Carl Friedrich Gauss y Philipp Ludwig von Seidel y es similar al método de Jacobi.
A continuacion te dejo un link a un pdf donde se explican los pasos a este método:
https://drive.google.com/file/d/1oZpdym3uAse8CtWlvOIaI3KLiGNGrf4d/view?usp=sharing
Para finalizar un ejemplo en C++ realizado en clase.
%&latex
\documentclass{article}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{color}
\begin{document}
\section{Jacobi y Gauss-Seidel}
Consideremos la $i-$\'esima ecuaci\'on de un SEL:\\
$$a_{i1}X_1+a_{i2}X_2+\dots+a_{i\,i-1}X_{i-1}+a_{ii}X_i+a_{i\,i+1}X_{i+1}+\dots+a_{i\,n}X_{n}=b_i$$
$$X_i=\frac{b_i-\left( a_{i1}X_1+a_{i2}X_2+\dots+a_{i\,i-1}X_{i-1} \right)-\left( a_{i\,i+1}X_{i+1}+\dots+a_{i\,n}X_{n} \right)}{a_{ii}}$$
$$X_i=\frac{b_i-\sum_{k=1}^{i-1}a_{ik}X_k-\sum_{k=i+1}^{n}a_{ik}X_k}{a_{ii}}$$
Jacobi:\\
$$X_i^{new}=\frac{b_i-\sum_{k=1}^{i-1}a_{ik}X_k^{old}-\sum_{k=i+1}^{n}a_{ik}X_k^{old}}{a_{ii}}$$
Gauss-Seidel:\\
$$X_i^{new}=\frac{b_i-\sum_{k=1}^{i-1}a_{ik}X_k^{new}-\sum_{k=i+1}^{n}a_{ik}X_k^{old}}{a_{ii}}$$
\section{Descomposici\'on LU }
Considere el siguiente SEL $$AX=b$$
y suponga que ha logrado obtener $L$ triangular inferior y $U$ triangular
superior tales que:\\
$$LU=A$$ sustituimos en el SEL:\\
$$LUX=b$$ asociando
$$L(UX)=b$$
hacemos: $Y=UX$.\\% donde $U$ es triangular superior.\\
Asi tenemos el SEL:\\ $$LY=b$$
es triangular inferior y se resuelve por sustituci\'on hacia adelante, obteniendose
la soluci\'on en $Y$.\\
La cual se sustituye en $$UX=Y$$ y se resuelve por sustituci\'on hacia atras.\\
Obteniendose la soluci\'on en $X$.
%asi $UX=Y$%
% es un SEL que se resuelve por sustituci\'on hacia atr\'as, obteniendose
%la soluci\'on en $Y$.\\
%sustituimos $Y$ en $$ y nos queda:\\
%$$$LY$$
\subsection{Obtencion de $L$ y $U$}
$$LU=A$$ $n=4$
$$\begin{bmatrix}1 & 0 & 0 & 0 \\
l_{21} & 1 & 0 & 0 \\
l_{31} & l_{32} & 1 & 0 \\
l_{41} & l_{42} & l_{43} & 1 \\
\end{bmatrix}\begin{bmatrix}u_{11} & u_{12} & u_{13} & u_{14} \\
0 & u_{22} & u_{23} & u_{24} \\
0 & 0 & u_{33} & u_{34} \\
0 & 0 & 0 & u_{44} \\
\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}a_{11} & a_{12} & a_{13} & a_{14} \\
a_{21} & a_{22} & a_{23} & a_{24} \\
a_{31} & a_{32} & a_{33} & a_{34} \\
a_{41} & a_{42} & a_{43} & a_{44} \\
\end{bmatrix}$$
$\begin{bmatrix}
u_{11} & u_{12} & u_{13} & u_{14} \\
\textcolor{red}{l_{21}}u_{11} & l_{21}u_{12}+\textcolor{red}{u_{22}} & l_{21}u_{13}+\textcolor{red}{u_{23}} & l_{21}u_{14}+\textcolor{red}{u_{24}} \\
\textcolor{red}{l_{31}}u_{11} & l_{31}u_{12}+\textcolor{red}{l_{32}}u_{22} & l_{31}u_{13}+l_{32}u_{23}+\textcolor{red}{u_{33}} & l_{31}u_{14}+l_{32}u_{24}+\textcolor{red}{u_{34}} \\
\textcolor{red}{l_{41}}u_{11} & l_{41}u_{12}+\textcolor{red}{l_{42}}u_{22} & l_{41}u_{13}+l_{42}u_{23}+\textcolor{red}{l_{43}}u_{33} & l_{41}u_{14}+l_{42}u_{24}+l_{43}u_{34}+\textcolor{red}{u_{44}} \\
\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}a_{11} & a_{12} & a_{13} & a_{14} \\
a_{21} & a_{22} & a_{23} & a_{24} \\
a_{31} & a_{32} & a_{33} & a_{34} \\
a_{41} & a_{42} & a_{43} & a_{44} \\
\end{bmatrix}$
\\
Hacer para $i=1,n\{$\\
\textcolor[rgb]{1,1,1}{xxxx}Hacer para $j=1,n\{$\\
\textcolor[rgb]{1,1,1}{xxxxxxx}$si\,(i\leq j)\, u_{ij}=a_{ij}-\sum_{k=1}^{i-1}l_{ik}u_{kj}$\\
\textcolor[rgb]{1,1,1}{xxxxxxx}$sino\,\,l_{ij}=\frac{a_{ij}-\sum_{k=1}^{j-1}l_{ik}u_{kj}}{u_{jj}}$\\
\textcolor[rgb]{1,1,1}{xxxx}\}\\
\}
\end{document}
$$\begin{bmatrix}
u_{11} & u_{12} & u_{13} & u_{14} \\
l_{21}u_{11} & l_{21}u_{12}+u_{22} & l_{21}u_{13}+u_{23} & l_{21}u_{14}+u_{24} \\
l_{31}u_{11} & l_{31}u_{12}+l_{32}u_{22} & l_{31}u_{13}+l_{32}u_{23}+u_{33} & l_{31}u_{14}+l_{32}u_{24}+u_{34} \\
l_{41}u_{11} & l_{41}u_{12}+l_{42}u_{22} & l_{41}u_{13}+l_{42}u_{23}+l_{43}u_{33} & l_{41}u_{14}+l_{42}u_{24}+l_{43}u_{34}+u_{44} \\
\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}a_{11} & a_{12} & a_{13} & a_{14} \\
a_{21} & a_{22} & a_{23} & a_{24} \\
a_{31} & a_{32} & a_{33} & a_{34} \\
a_{41} & a_{42} & a_{43} & a_{44} \\
\end{bmatrix}$$\\
xsxs
observe que:\\
$$u_{ij}$$
xzxzxz
\end{document}
Yesenia Andrade.
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